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수학적 개념 이해 - 이산형 확률 분포, 연속형 확률 분포

문베디드 2020. 12. 2. 09:19

* 이산형 확률 분포

 - 베르누이 시행

  -- 실험 결과의 범주가 2가지 (P/F)

  -- X=1(Pass) / X = 0(Fail)

   --- $f(x) = p^x(1-p)^{1-x}$

        예) 앞면이 성공인 동전던지기

 - 이항분포

  -- 성공확률이 p인 베르누이 시행을 독립적으로 n번 시행하였을 때 성공한 횟수의 분포

   --- $f(x) = \frac{n!}{x!(n-x)!}\centerdot p^x(1-p)^{n-x}$

        $\left(\frac{n!}{x!(n-x)!}\right)$ = $_{n}\mathrm{C}_{x}$

    ---- $n\geq x \geq 0, 정수$

       예) 동전 n번 던져 앞면의 횟수

 - 다항분포

  -- 다항시행: 1회의 시행결과로 나올 수 있는 범주가 3개 이상이 되는 확률 시험

  -- K개 범주의 다항 시행을 n번 반복했을때, 각 범주가 나타나는 횟수의 분포

   --- $f(x_1, ...,x_K) = \frac{n!}{x_1!...x_K!}p_1^{x_1}\cdotsp_K^{x_K$

    ---- $x_K = \left(n-\sum_{k=1}^{K-1}x_k\right), p_K = 1-\sum_{k=1}^{K-1}p_k, 0\leq x_k \leq n, 정수$

  -- 예) 주사위 n번 던진 각 눈의 횟수

 - 포아송분포

  -- 주어진 단위 구간 내에 평균적으로 발생하는 사건의 횟수가 정해져 있을 때,

      동일 단위에서의 발생 횟수

   --- 사건 평균 발생횟수는 단위 구간에 비례 (예, 1시간동안 걸린 전화 횟수에 비해 2시간 동안 걸린 전화는 2배)

   --- 두개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 가깝다.(동시에 전화 2개가 걸린다)

   --- 어떤 단위구간의 사건의 발생은 다른 단위 구간의 발생으로부터 독립적(2분내에 전화 온게 다음2분에 영향X)

  -- 평균이 $\mu$인 포아송 분포

   --- $f(x) = \frac{\mu^xe^{-\mu}}{}$

   --- $x \geq 0, 정수$

  -- 예) 1시간동안 걸려온 전화수, 100페이지 내 오타 수

 

*연속형 확률분포

 - 지수분포

  -- 평균 소요시간이 $\mu$인 사건이 발생하기까지 걸리는 소요시간

   --- $f(x) = \frac{1}{\mu}e^{-\frac{1}{\mu}x}$, ($x\geq0$)

 - 정규분포***

  -- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, ($-\infty \leq x \leq \infty$)

  -- 정규분포 특성: 표준편차의 1배 구간은 68.2% 표준편차의 2배 구간은 약 1.96(95.4%) 이다.

 - 표준정규분포

  -- 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포